Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）

Answer 1

解题思路：由f（x+2）=

1+f(x)

1−f(x)

，知f（x+4）=

1+

1+f(x)

1−f(x)

1−

1+f(x)

1−f(x)

=-

1

f(x)

．所以f（x+8）=-

1

f(x+4)

＝f(x)

．所以f（x）是以8为周期的周期函数，由此能求出f（2001）．

∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（x）≠1，

∴f（x+2）=

1+f(x)

1−f(x)，

f（x+4）=

1+

1+f(x)

1−f(x)

1−

1+f(x)

1−f(x)=-

1

f(x)．

所以f（x+8）=-

1

f(x+4)＝f(x)．

所以f（x）是以8为周期的周期函数，

∵f（1）=1997，2001=8×250+1，

∴f（2001）=f（1）=1997．

点评：

本题考点： 函数的周期性．

考点点评： 这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解．