如图,ABC-A′B′C′是正三棱柱,底面边长为a,D、E分别是BB′、CC′上的一点,BD=[1/2]a,EC=a.

1个回答

  • 解题思路:(1)分别取A′C′、AC的中点M、N,利用正三棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得出B′M⊥平面A′ACC′,假设MN与AE交于点P,再证明PNBD是矩形,可得PD⊥平面ACC′A′,从而证明结论;

    (2)利用(1)可知:PD⊥AE,分别计算出PD,AE,再利用三角形的面积公式即可得出.

    (1)证明:分别取A′C′、AC的中点M、N,连接MN,B′M,BN,则MN∥A′A∥B′B,

    ∴B′、M、N、B共面,B′M⊥A′C′,

    又B′M⊥AA′,∴B′M⊥平面A′ACC′.

    设MN交AE于P,∵CE=AC,∴PN=NA=[a/2],

    又DB=[a/2],∴PN=BD.

    ∵PN∥BD,∴PNBD是矩形,

    于是PD∥BN,BN∥B′M,∴PD∥B′M,

    ∵B′M⊥平面ACC′A′,

    ∴PD⊥平面ACC′A′,PD⊂平面ADE,

    ∴平面ADE⊥平面ACC′A′.

    (2)PD⊥平面ACC′A′,

    ∴PD⊥AE,PD=B′M=

    3

    2a,AE=

    2a.

    ∴S△ADE=[1/2]×AE×PD=

    1

    3

    2a×

    2a=

    6

    4a2

    点评:

    本题考点: 平面与平面垂直的判定.

    考点点评: 熟练掌握正三棱柱的性质、线面与面面垂直的判定和性质定理、三角形的面积计算公式是解题的关键.