Question

点F1、F2分别是双曲线x^2-y^2=1的两个焦点,圆O以线段F1F2为直径,直线l与圆O相切,与双曲线相交于A、B两

Answer 1

圆O方程为x^2+y^2=2,令切点P坐标为(x0,y0),则切线方程为x0x+y0y=2.又设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).

联立双曲线方程和切线方程消去y化简得：(x0^2-y0^2)x^2-4x0x+(y0^2+4)=0.

由Vieta定理知x1+x2=4x0/(x0^2-y0^2),x1x2=(y0^2+4)/(x0^2-y0^2).

AB长度|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2],A、B也在切线上,代入切线方程消去x1、x2化简得：|AB|=2√(2y0^2+1)/(1-y0^2)

点C到切线AB的距离为h=|0*x0+(-2)*y0-2|/√(x0^2+y0^2)=√2(1+y0)

因为S△ABC=1/2*|AB|*h=10,代入上面求得数据有1/2*2√(2y0^2+1)/(1-y0^2)*√2(1+y0)=10,化简得：3y0^2-10y0+4=0.得：y0=(5±√13)/3.

直线I在y轴上的截距即x=0时,切线方程y的值.

所以当y0=(5+√13)/3时,截距y=2/y0=(5-√13)/2；当y0=(5-√13)/3时,截距y=2/y0=(5+√13)/2.