Question

（2012•房山区二模）数列{an}中，a1=1，前n项的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（I）利用数列递推式，代入计算，可求a₂，a₃，a₄；

（II）再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；

（III）求出前n项和，代入计算，可以证得结论．

（I）∵a₁=1，S_n=2a_n-1，

∴当n=2时，a₁+a₂=2a₂-1，∴a₂=2

当n=3时，a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=4

当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-1，∴a₄=8…（3分）

（II）∵S_n=2a_n-1，n∈N^*．（1）

∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*．（2）

（1）-（2）得a_n=2a_n-1，

∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴a_n=2^n-1…（8分）

（III）证明：∵S_n=2a_n-1=2ⁿ-1，

∴S_nS_n+2=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1，

S2n+1=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1

∵2ⁿ＞0

∴S_nS_n+2＜

S2n+1．…（13分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．