解题思路:(1)要证DM∥平面APC,只需证明MD∥AP(因为AP⊂面APC)即可.
(2)在平面ABC内直线AP⊥BC,BC⊥AC,即可证明BC⊥面APC,从而证得平面ABC⊥平面APC;
(3)因为BC=4,AB=20,求出三棱锥的高,即可求三棱锥D-BCM的体积.
证明:(I)由已知得,MD是△ABP的中位线
∴MD∥AP∵MD⊄面APC,AP⊂面APC
∴MD∥面APC;(4分)
(II)∵△PMB为正三角形,D为PB的中点
∴MD⊥PB,∴AP⊥PB又∵AP⊥PC,PB∩PC=P
∴AP⊥面PBC(6分)∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC
又∵BC⊥AC,AC∩AP=A∴BC⊥面APC,(8分)
∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC;(10分)
(III)由题意可知,MD⊥面PBC,
∴MD是三棱锥D-BCM的高,
∴VM−DBC=
1
3Sh=10
7.(14分)
点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查直线与平面的平行,三棱锥的体积,平面与平面垂直的判定,是中档题.