(2011•广东模拟)如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三

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  • 解题思路:(1)要证DM∥平面APC,只需证明MD∥AP(因为AP⊂面APC)即可.

    (2)在平面ABC内直线AP⊥BC,BC⊥AC,即可证明BC⊥面APC,从而证得平面ABC⊥平面APC;

    (3)因为BC=4,AB=20,求出三棱锥的高,即可求三棱锥D-BCM的体积.

    证明:(I)由已知得,MD是△ABP的中位线

    ∴MD∥AP∵MD⊄面APC,AP⊂面APC

    ∴MD∥面APC;(4分)

    (II)∵△PMB为正三角形,D为PB的中点

    ∴MD⊥PB,∴AP⊥PB又∵AP⊥PC,PB∩PC=P

    ∴AP⊥面PBC(6分)∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC

    又∵BC⊥AC,AC∩AP=A∴BC⊥面APC,(8分)

    ∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC;(10分)

    (III)由题意可知,MD⊥面PBC,

    ∴MD是三棱锥D-BCM的高,

    ∴VM−DBC=

    1

    3Sh=10

    7.(14分)

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题考查直线与平面的平行,三棱锥的体积,平面与平面垂直的判定,是中档题.