Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求出斜线A1C与平面BDD1B所成角的余弦值

Answer 1

设A‘C与BD’相交于E,则E为正方体的中心,

连结AC交BD于O,则O是E在平面ABCD上的射影,

∵D‘D⊥平面ABCD,∴D’D⊥AC,又BD⊥AC,∴AC⊥平面BDD‘B,

∴EO是EC在平面BDD’B上的射影,即∠CEO是斜线A‘C与平面BDD’B所成角,

又A‘A⊥平面ABCD,∴∠CEO=∠CA’A,

设正方体棱长为1,Rt△A'AC中,A‘A=1,AC=√2,A’C=√3,

cosCA'A=A'A/A'C=1/√3=√3/3,即A‘C与平面BDD’B所成角余弦为√3/3,解毕.