高数 求给思路:类似题怎样证偏导数存在,怎样证是否可微

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  • 求连续性的话,就证明在x,y趋近于(0,0)点的时候极限是否存在,存在的话是否和函数中定义的该点的数值相同,相同则连续.

    x^2+y^2>0时,对x,y取趋近于0的极限,同时令x=y=1/n

    可以化成(1/2^(3/2)*)1/n,取极限n趋近于∞得到极限为0

    令y=kx,化成(k^2/(1+k^2)^3/2)*x.取极限得到极限为0

    所以函数在0,0点是连续的

    偏导存在与否可直接用定义求解

    可知f(x,0)=0,所以有fx(0,0)=0

    同理可知f(0,y)=0,所以有fy(0,0)=0

    所以对(0,0)点的偏导是存在的

    可微是说函数的全增量△f可以表示成A△x+B△y+o(p)的形式,而这里的o(p)是随着△x和△y 趋近于0而趋近于0 的

    比如说这道题,△f(0,0)就要表示为(△x)^2*(△y)^2/((△x)^2+(△y)^2)^(3/2)=o(p)(因为A=B=0,所以△x和△y项不存在),这里我们令o(p)=ep,p=((△x)^2+(△y)^2)^1/2,并且p趋近于0的时候要有e趋近于0

    这里我们令△x=△y>0,得到2^(-3/2)*△x=2^(1/2)*e*△x,我们得到e=1/4,并不随p趋近于0而趋近于0,所以函数的全增量是不能用A△x+B△y+o(p)来表示的,所以不可微