Question

设数列{ a n }的各项均为正数，前 n 项和为 S n ，对于任意的 n ∈N ＋ ， a n ， S n ， a

Answer 1

2

根据题意，对于任意 n ∈N _＋，总有 a _n， S _n， a 成等差数列，则对于 n ∈N ^*，总有2 S _n＝ a _n＋

①

所以2 S _{n －1}＝ a _{n －1}＋

( n ≥2)②

①－②得2 a _n＝ a _n＋

－ a _{n －1}－

，即 a _n＋ a _{n －1}＝( a _n＋ a _{n －1})( a _n－ a _{n －1})因为 a _n， a _{n －1}均为正数，所以 a _n－ a _{n －1}＝1( n ≥2)，

所以数列{ a _n}是公差为1的等差数列，又 n ＝1时，2 S ₁＝ a ₁＋ a ，解得 a ₁＝1，所以 a _n＝ n ，对于任意的实数 x ∈(1，e]，有0

n ＝

≤

，所以 T _n≤

＝

，又对任意的实数 x ∈(1，e]和任意正整数 n ，总有 T _n< r ( r ∈N _＋)，所以 r 的最小值为2.