解题思路：（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；
（Ⅱ）设x1＜x2然后确定f（x1）-f（x2）的符号，根据单调函数的定义得到函数f（x）的单调性；
（III）结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即[b−1/2+2＝0⇒b=1，
∴f(x)＝
1−2x
2+2x+1]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)＝
1−2x
2+2x+1＝−
1
2+
1
2x+1，
设x1＜x2则f（x1）-f（x2）=[1
2x1+1-
1
2x2+1=
2x2−2x1
(2x1+1)(2x2+1)
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）-f（x2）=
2x2−2x1
(2x1+1)(2x2+1) ＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0
等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2-2t＞k-2t2．
即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，
从而判别式 △＝4+12k＜0⇒k＜−
1/3]．
所以k的取值范围是k＜-[1/3]．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．