(1)
；(2)
试题分析：(1)因为中心在原点的双曲线C的一个焦点是F 1（一3,0)，一条渐近线的方程是
，两个条件即可求出双曲线的方程.
(2)依题意可得通过假设直线
的方程，联立双曲线方程消去y，即可得到一个关于x的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大于零，即可写出线段MN的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论.
试题解析：（1）设双曲线
的方程为
，
由题设得
解得
，所以双曲线
的方程为
；
（2）设直线
的方程为
，点
，
的坐标满足方程组
，将①式代入②式，得
，
整理得
，此方程有两个不等实根，于是
，
且
，
整理得
.③ 由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足：
，
，从而线段
的垂直平分线的方程为
，此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
，
由题设可得
，整理得
，
，
将上式代入③式得
，整理得
，
，解得
或
， 所以
的取值范围是
．