已知函数f(x)=x2+aln x.

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  • 解题思路:(I)求出f(x)的导函数,列出x,f′(x),f(x)的变化情况表,求出单调区间及函数的极值.

    (II)令g(x)的导数大于等于0恒成立,分离出参数a,构造新函数,通过导数求出新函数的最小值,令a大于等于最小值即得到a的范围.

    (I)函数f(x)的定义域为(0,+∞)

    当a=-2时,f′(x)=2x−

    2

    x=

    2(x+1)(x−1)

    x

    当x变化时,f′(x),f(x)的值变化情况如下表

    由上表可知,函数f(x)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)

    极小值是f(1)=1,没有极大值

    (2)由g(x)=x2+alnx+

    2

    x得g′(x)=2x+

    a

    x−

    2

    x2

    因为g(x)在[1,+∞)上是单调增函数

    所以g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立

    即不等式2x+

    a

    x−

    2

    x2≥0在[1,+∞)上恒成立即a≥

    2

    x −2x2在[1,+∞)上恒成立

    令∅(x)=

    2

    x−2x2则∅′(x)=−

    2

    x2−4x当x∈[1,+∞)时,∅′(x)=−

    2

    x2−4x<0

    ∴∅(x)=

    2

    x−2x2在[1,+∞)上为减函数

    ∅(x)的最大值为∅(1)=0

    ∴a≥0

    故a的取值范围为[0,+∞)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.

    考点点评: 求使函数单调的参数的范围时,若函数单增则令其导数大于等于0恒成立;若单减,则令其导数小于等于0恒成立.