Question

在三角形ABC中内角ABC的对边分别为a,b,c,且（sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3

Answer 1

由题,根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC

∴(a+b+c)(b+c-a)=3bc

即,b²+c²+2bc-a²=3bc

∴b²+c²-a²=bc

又根据余弦定理：b²+c²-a²=2bccosA

∴2cosA=1,

即,cosA=1/2

∴A=π/3

因为,a/sinA=c/sinC

所以,asinC＝csinA＝(√3/2)×c

又,acosC＝-1

两式平方相加,可得

a²=(3c²/4)＋1

又,b²+c²-a²=bc

b=5

所以,25+c²-(3c²/4＋1)=5c

即,c²/4－5c＋24＝0

即,c²－20c＋96＝0

即,(c-24)(c+4)＝0

又,c>0

所以,c＝24

S△ABC＝(bcsinA)/2

＝(5×24)×(√3/2)×(1/2)

＝30√3

所以,三角形的面积为30√3