Question

设a,b是n维列向量,且a'b不等于-1,证明：E+a(b')可逆,并求其逆矩阵

Answer 1

设 x 为一个常数.考虑：

（E+ a b')(E + xa b')= E + a b' + x a b' + a b' xa b' = E + (1 + x ) a b' + a (xb'a) b'

= E + (1+x+ xb'a) ab'

于是 当 1+x+ xb'a = 0 时 E+a(b')可逆,即 当 x = -1/(1+b'a) 时,E+a(b')可逆,且其逆矩阵为 E + （-1/（1+b'a））a b'.因为b'a = a'b不等于 -1.所以分母1+b'a不为零.