Question

已知等差数列{an}和公比为q（q≠1）的正项等比数列{bn}满足a1=b1=a，a3=b3，a7=b5，

Answer 1

解题思路：（1）通过a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅，列出方程，结合正项等比数列{b_n}，求出等比数列{b_n}的公比q；

（2）通过（1）直接求出M_n=a₁+a₂+…+a_n，N_n=b₁+b₂+…+b_n，M₅与N₅即可利用作商法，比较出大小．

（3）a=1，推出数列c_n=a_2n+1•b_2n+1的通项公式，利用错位相减法，直接求出数列{c_n}的前n项和S_n．

（1）因为a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅，

所以，a₁+2d=b₁q²=aq²
a₁+6d=b₁q⁴=aq⁴，

变形得：a（1-q²）=-2d ①

a（1-q⁴）=-6d ②

②÷①得，1+q²=3

正项等比数列{b_n}，

所以q²=2，

即，q=

2．

（2）由（1）可知d=[a/2]，

M₅=

5×(a+a+4d)

2=10a；

N₅=

a(1−(

2)5)

1−

2=

a((

2)5−1)

2−1=

a(2

2−1)

2−1，

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评： 本题是中档题，考查等差数列与等比数列的基本关系式，求解等比，前n项和的求法，错位相减法的应用，考查计算能力．