解题思路：（1）依题意，由f（0）=0即可求得b的值；
（2）由（1）得b=0，从而求得f（x）的解析式，利用导数即可判断其增减性；
（3）利用函数的单调性，再结合题意可求得m，n，从而可得到m+n的值．
（1）∵定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=
2x+b
x2+1为奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，…（2分）
检验：当b=0时，f（x）=
2x
x2+1为奇函数，…（3分）
∴b=0．
（2）函数f（x）=
2x
x2+1在区间（-1，1）上是增函数…（4分）
证明：∵f（x）=
2x
x2+1，
∴f′（x）=
2(x2+1)−2x•2x
(x2+1)2
=
2(1−x2)
(x2+1)2，…（6分）
∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＞0，…（7分）
∴函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数 …（8分）
（3）由（2）知函数f（x）在区间[m，n]上是增函数，函数f（x）的值域为[f（m），f（n）]
∴
f(m)＝m
f(n)＝n即
2m
m2+1＝m①
2n
n2+1＝n②…（9分）
由①得m=-1 或 0或1，
由②得n=-1 或 0或1…（11分）
又∵-1≤m＜n≤1
∴m=-1，n=0；或m=-1，n=1；或m=0，n=1…（12）
∴m+n=-1；或m+n=0；或m+n=1…（13）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，判断出f（x）在（-1，1）上是增函数是解决问题的关键，对m，n的取值情况的讨论是难点，考查综合分析与运算的能力，属于难题．