这个数列的每一项都是斐波那契数列的后一项与前一项的比,因此我们求出斐波那契数列的通项并代入就可以了.
我们给出初值a(1),a(2),和初始条件a(n+2)=a(n+1)+a(n)
则a(n+2)-pa(n+1)=q[a(n+1)-pa(n)]
比较系数可得
p+q=1,pq=-1
两者都满足方程x^2-x-1=0
令b(n)=a(n+1)-pa(n),则b(1)=a(2)-pa(1)
b(n+1)=qb(n)
b(n)=q^(n-1)b(1)
将b(n)=a(n+1)-pa(n),代入可得
a(n+1)-pa(n)=q^(n-1)b(1)
这个可以写为
a(n+1)+sq^(n)b(1)=p[a(n)+sq^(n-1)b(1)]
比较系数可得
sp-sq=1即s=1/(p-q)
令c(n)=a(n)+sq^(n-1)b(1),则c(1)=a(1)+sb(1)
c(n+1)=pc(n)
c(n)=p^(n-1)c(1)
将c(n)=a(n)+sq^(n-1)b(1),s=1/(p-q)代入可得
a(n)+sq^(n-1)b(1)=p^(n-1)c(1)
即a(n)=c(1)p^(n-1)+[b(1)/(q-p)]q^(n-1)
将b(1),c(1),通通代入,可得
a(n)={[a(2)-a(1)q]/(p-q)}p^(n-1)+{[a(2)-pa(1)]/(q-p)]}q^(n-1)
我们解出x^2-x-1=0的两根,分别为p=(1+√5)/2;q=(1-√5)/2
代入上式可得
a(n)={a(2)+a(1)[(√5-1)/2]}/√5*[(1+√5)/2]^(n-1)
+{a(2)-a(1)[(√5+1)/2]}/(-√5)*[(1-√5)/2]^(n-1)
我们令a(1)=1,a(2)=2
可得
a(n)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5
代入n=1,2,3,4,5,6……
显然得1,1,2,3,5,8……
该题是d(n)=a(2n+1)/a(2n)
我们把a(n)的表达式代入可得
d(n)={[(√5+1)/2]^(4n+1)+(√5-1)/2}/{[(√5+1)/2]^(4n)-1}
我们代入n=1,2,3,4,……
可以得到：2,5/3,13/5,34/21……