Question

已知f(x)=x²+ax+b/x,x∈(0,+无穷),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列三个条件.

Answer 1

f(x) = log3[(x^2+ax+b)/x]

f’(x) = [(x^2+ax+b)/x]' /{ [(x^2+ax+b)/x] log3}

= { [x*(2x+a)-(x^2+ax+b)*1]/x^2} / { [(x^2+ax+b)/x] log3}

= { [2x^2+ax-x^2-ax-b]} / { x^2[(x^2+ax+b)/x] log3}

= (x^2-b) / { x(x^2+ax+b) log3}

∵①在（0,1]上是减函数,②在[1,正无穷）上是增函数,③f（x）的最小值是1

∴f‘(1)=0,f(1)=1

∴ (1-b) / { (1+a+b) log3 } = 0,log3(1+a+b) = 1

∴a=1,b=1