解题思路：（Ⅰ）原题等价于当x∈（0，+∞）时，xlnx+1＞kx恒成立，即
k＜
xlnx+1
x
＝lnx+
1
x]恒成立，由此利用导数性质能求出实数g（x）＞g（1）=1的取值范围．
（Ⅱ）法一（构造函数法）：由（1）知当x＞0，x≠1时，
lnx＞1−
1
x
，令
x＝
n+1
n
，得
ln(n+1)−lnn＞
1
n+1
，由此能证明当n∈N*时，ln（n+1）＞[1/2]+[1/3]+[1/4]+…+[1/n+1]．
（Ⅱ）法二（数学归纳法）：当n=1时，
ln2＞
1
2
成立；假设当n=k时命题成立，当n=k+1时，利用分析法能证明：
ln(k+1)+
1
k+2
＜ln(k+2)
，由此能证明当n∈N*时，ln（n+1）＞[1/2]+[1/3]+[1/4]+…+[1/n+1]．
（Ⅰ）当x∈（0，+∞）时，函数（1，+∞）的图象恒在直线x∈（1，+∞）上方，
等价于当x∈（0，+∞）时，xlnx+1＞kx恒成立，…（1分）
即k＜
xlnx+1
x＝lnx+
1
x恒成立，…（2分）
令g(x)＝lnx+
1
x，x∈（0，+∞），则g′(x)＝
1
x−
1
x2＝
x−1
x2…（3分）
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，故g(x)＝lnx+
1
x在（1，+∞）上递增，
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，故g(x)＝lnx+
1
x在（0，1）上递减，…（4分）
∴g（1）为g(x)＝lnx+
1
x在区间（0，+∞）上的极小值，仅有一个极值点故为最小值，
∴x∈（0，+∞）时，g（x）≥g（1）=1…（5分）
所以实数g（x）＞g（1）=1的取值范围是（-∞，1）…（6分）
（Ⅱ）证法一（构造函数法）：
由（1）知当x＞0，x≠1时，xlnx+1＞x，即lnx＞1−
1
x…（8分）
令x＝
n+1
n，则ln
n+1
n＞1−
n
n+1，…（10分）
即得ln(n+1)−lnn＞
1
n+1…（11分）
∴ln2−ln1＞
1
2，ln3−ln2＞
1
3，…，ln(n+1)−lnn＞
1
n+1…（12分）
∴ln（n+1）=（ln（n+1）-lnn）+（lnn-ln（n-1））
+…+（ln2-ln1）+ln1＞
1
n+1+
1
n+…+
1
2…（13分）
∴当n∈N*时，ln（n+1）＞[1/2]+[1/3]+[1/4]+…+[1/n+1]．…（14分）
（Ⅱ）证法二（数学归纳法）：
①当n=1时，由2ln2=ln4＞1，知ln2＞
1
2成立；…（7分）
②假设当n=k时命题成立，即[1/2+
1
3+
1
4+…+
1
k+1＜ln(k+1)
那么，当n=k+1时，
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、数学归纳法的合理运用．
1年前
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