Question

（2014•烟台一模）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2-2y+3）+f（x2-4x+1）≤0，则当y

Answer 1

解题思路：判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和[y/x+1]的几何意义即可得到结论．

∵f（x）=x+sinx（x∈R），

∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），

即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，

∵f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，

∴f（y²-2y+3）≤-f（x²-4x+1）=f[-（x²-4x+1）]，

由f'（x）=1-cosx≥0，

∴函数单调递增．

∴（y²-2y+3）≤-（x²-4x+1），

即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，

∴（y-1）²+（x-2）²≤1，

∵y≥1，

∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．

[y/x+1]的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．

设k=[y/x+1]，（k＞0）

则y=kx+k，即kx-y+k=0．

当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=

|2k−1+k|

1+k2＝

|3k−1|

1+k2＝1，

即8k²-6k=0，解得k=[3/4]．此时直线斜率最大．

当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，

此时3k-1+k=0，即4k=1，解得k=[1/4]，

∴[1/4≤k≤

3

4]，

故选：A．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．