直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A

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  • 过B作MN∥AC,再过A作AE⊥MN交MN于E、过C作CF⊥MN交MN于F,连结A1E、C1F.

    ∵∠ABC=90°, ∴由勾股定理,有:AC=√(AB^2+BC^2)=√(16+9)=5.

    ∵EF∥AC、AE⊥EF、CF⊥EF, ∴ACFE是矩形,

    ∴EF=AC=5、AE=CF、∠AEB=∠CFB=90°.

    ∴由勾股定理,有:√(AB^2-AE^2)=BE、√(BC^2-CF^2)=BF,

    ∴√(AB^2-AE^2)+√(BC^2-CF^2)=BE+BF=EF=5,

    ∴√(16-AE^2)=5-√(9-CE^2)=5-√(9-AE^2),

    两边平方,得:16-AE^2=25-10√(9-AE^2)+9-AE^2,

    ∴10√(9-AE^2)=25+9-16=18, ∴5√(9-AE^2)=9,

    两边再平方,得:25(9-AE^2)=81, ∴25AE^2=25×9-81=9×(25-9)=9×16,

    ∴AE^2=9×16/25=144/25.

    ∵ABC-A1B1C1是直棱柱, ∴AA1⊥平面ABC, 而B是矩形ACFE中EF上的一点,

    ∴AA1⊥平面ACFE, ∴AE是A1E在平面ACFE上的射影, 又EF⊥AE,

    ∴由三垂线定理,有:A1E⊥EF.

    ∵ABC-A1B1C1是直棱柱, ∴A1C1∥AC, 又EF∥AC, ∴A1C1∥EF.

    由A1E⊥EF、A1C1∥EF,得:A1E为A1C1与EF间的距离.

    ∵A1C1∥EF, ∴A1、C1、F、E共面, 而B是FE上的点, ∴A1、C1、F、B、E共面.

    ∵ACFE是矩形, ∴A、C、F、E共面, 而B是EF上的点, ∴A、C、F、B、E共面.

    ∴EF是平面A1BC1与平面ABC的交线. ∴A1E是A1C1与 l 的距离.

    ∵AA1⊥平面ACFE, ∴AA1⊥AE,

    ∴A1E=√(AA1^2+AE^2)=√(1+144/25)=√(169/25)=13/5.

    即A1C1与 l 的距离为13/5.