解题思路：（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值．
（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果．
（3）要证明不等式成立，问题等价于证明
xlnx＞
x
e
x
−
2
e
(x∈(0，+∞))
．由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是
−
1
e
，构造新函数，得到结论．
（1）f′（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈(0，
1
e)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(
1
e，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增…（2分）
①当0＜t＜
1
e时，t+2＞
1
ef(x)min＝f(
1
e)＝−
1
e；…（3分）
②当[1/e≤t＜t+2，即t≥
1
e]时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
f（x）min=f（t）=tlnt； …（4分）
所以f(x)min＝
−
1
e，0＜t＜
1
e.
tlnt，t≥
1
e…（5分）
（2）在2
1
x＞xa两边取对数得[1/xln2＞alnx，…（6分）
由于0＜x＜1，所以
a
ln2＞
1
xlnx]，…（7分）
令g(x)＝
1
xlnx，由（1）可知，当x∈（0，1）时，g(x)≤gmax(x)≤g(
1
e)＝−e（8分）
所以[a/ln2＞−e，即a＞-eln2．…（9分）
（3）问题等价于证明xlnx＞
x
ex−
2
e(x∈(0，+∞))，…（10分）
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是−
1
e]，当且仅当x＝
1
e时取到，（11分）
设m(x)＝
x
ex−
2
e(x∈(0，+∞))，则m′(x)＝
1−x
ex，…（12分）
易知m(x)max＝m(1)＝−
1
e，当且仅当x=1时取到，…（13分）
从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞
1
ex−
2
ex成立． …（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的最值，利用最值解决函数的恒成立思想，不同解题的关键是构造新函数，利用新函数的性质解决问题．