解题思路：首先分别把（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）分别相乘得到（x2+5x+4）（x2+5x+6），然后把（x2+5x）作为一个整体做多项式的乘法得到（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1，然后利用完全平方公式分解因式即可求解．
（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1
=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1
=（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1
=（x2+5x）2+10（x2+5x）+25
=（x2+5x+5）2．
点评：
本题考点： 因式分解-分组分解法；因式分解-运用公式法．
考点点评： 此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题的关键是首先把（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）分别相乘，然后利用整体相乘的思想得到（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1，最后利用公式法即可解决问题．