Question

设函数f（x）=[1/4]x4+bx2+cx+d，当x=t1时，f（x）有极小值．

Answer 1

解题思路：（1）由于：“方程h（x）=0有三个互异的实根．”，通过列出表格，结合导数的零点问题讨论即可；（2）存在性问题，只需即（x-2）2（x+4）＞0（*）在区间[m-2，m+2]上恒成立，最后转化为子集问题即可．

（1）因为f（x）=[1/4]x⁴+bx²+cx+d，

所以h（x）=f′（x）=x³-12x+c．

由题设，方程h（x）=0有三个互异的实根．

考察函数h（x）=x³-12x+c，则h′（x）=0，得x=±2．

所以

c+16＞0

c−16＜0故-16＜c＜16．

（2）存在c∈（-16，16），

使f′（x）≥0，即x³-12x≥-c，（*）

所以x³-12x＞-16，

即（x-2）²（x+4）＞0（*）在区间[m-2，m+2]上恒成立．（7分）

所以[m-2，m+2]是不等式（*）解集的子集．

所以

m−2＞−4

m+2＜2或m-2＞2，

即-2＜m＜0，或m＞4．（9分）

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题综合考查了函数的导数，零点，极值与恒成立问题．