解题思路:由于x2+x+1≠0,把等式变形为关于x的一元二次方程的一般式:yx2+(y-2)x+y=0,根据此方程有根,得到△≥0,得到y的不等式,解不等式可得y的取值范围,即可得到y的最大值.
∵x2+x+1=0时,△=12-4<0,
∴x2+x+1≠0;
所以可将y=
2x
x2+x+1变形为yx2+(y-2)x+y=0,把它视为关于x的一元二次方程,
∵x为实数,
∴△≥0,即△=(y-2)2-4y2=-(3y2+4y-4)=-(3y-2)(y+2)≥0,
∴(3y-2)(y+2)≤0,
解之得,-2≤y≤[2/3];
所以y的最大值为[2/3].
故答案为[2/3].
点评:
本题考点: 根的判别式.
考点点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了转化的思想方法的运用.