波函数：wave function
波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数.
为了定量地描述微观粒子的状态,量子力学中引入了波函数,并用ψ表示.一般来讲,波函数是空间和时间的函数,并且是复函数,即ψ=ψ(x,y,z,t).将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广,玻恩假定 就是粒子的概率密度,即在时刻t,在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率.波函数ψ因此就称为概率幅.
电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大,即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零,没有电子到达,显示“暗条纹”.
由此可见,在电子双缝干涉实验中观察到的,是大量事件所显示出来的一种概率分布,这正是玻恩对波函数物理意义的解释,即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)：
即是说,微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义.
据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动.这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解,然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度,是构成量子力学理论的最基本的概念.
概率幅满足于迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2（1.26） 相应的概率分布为（1.27）
波函数的数学表达
[1]量子力学假设一：对于一个微观体系,他的任何一个状态都可以用一个坐标和时间的连续、单值、平方可积的函数Ψ来描述.Ψ是体系的状态函数,它是所有粒子的坐标函数,也是时间函数.
（Ψ）Ψdτ为时刻t及在体积元dτ内出现的概率.Ψ是归一化的：∫（Ψ）Ψdτ=1式中是对坐标的全部变化区域积分.（注：（Ψ）指Ψ的共厄复数）
[2]量子力学假设二：体系的任何一个可观测力学量A都可与一个线性算符对应,算符按以下规律构成：
（1）坐标q和时间t对应的算符为用q和t来相乘.
（2）与q相关联的动量p的算符{p}=-i(h/(2π))(d/dq)(注：d指偏微分,以后不特别说明都指偏微分)
（3）对任一力学量先用经典方法写成q,p,t的函数A=A(q,p,t)则对应的算符为：=A(q,-i(h/(2π))(d/dq),t)
则：能量算符为：=-h^2/(8π^2m)△+V(其中△为拉普拉斯算符)
△=d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2(直角坐标)
△=(1/r^2)d(r^2d/dr)/dr+(1/(r^2sinθ))d(sinθd/dθ)/dθ+(1/(r^2sin^2θ))d^2/dφ^2(球坐标)
角动量算符：
{L[x]}=-i(h/(2π))(yd/dz-zd/dy)
{L[y]}=-i(h/(2π))(zd/dx-xd/dz)
{L[z]}=-i(h/(2π))(xd/dy-yd/dx)
^2={L[x]}^2+{L[y]}^2+{L[z]}^2
[3]量子力学假设三：若某一力学量A的算符作用于某一状态函数ψ后,等于一常数a乘以ψ,即ψ=aψ则称力学量A对ψ描述的状态有确定的数值a.a称的本征值,ψ称的本征波函数,方程ψ=aψ称的本征方程.
显然,对能量来说,ψ=Eψ即为定态的薛定鄂方程.含时的薛定鄂方程为：Ψ=ih/(2π)dΨ/dt
[4]量子力学假设四：若ψ[1],ψ[2]…ψ[n]为某一微观体系的可能状态,则他们的线性组合∑Cψ也是该体系的可能状态,称ψ的这一性质为叠加原理.
（1）有本征值力学量的平均值：设ψ对应本征值为a,体系处于状态ψ,若ψ已归一化则:
a(平均值)=∫(ψ)ψdτ=∑|C|^2a
(2)无本征值力学量的平均值：
F(平均值)=∫(ψ)ψdτ
则定态中所有的力学量平均值都不随时间变化.
如图：为S亚层的轨道3s1电子经过10万次影象合成的波函数图象.