Question

（2013•自贡模拟）对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称

Answer 1

解题思路：根据“稳定区间”的定义，函数存在“稳定区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

①对于函数f（x）=e^x，在区间”[a，b]，是增函数，故有

ea＝a

eb＝b，即方程e^x=x有两个解，这与y=e^x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．

②对于f（x）=x³存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³∈[0，1]．故②存在“稳定区间”．

③对于f（x）=sin[1/2]πx，存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=sin

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2πx∈[0，1]．故③存在“稳定区间”．

④对于 f（x）=lnx，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，这与y=lnx 和 y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．

故答案为②③

点评：

本题考点： 函数的值域；函数的定义域及其求法．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的概念，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键．