Question

求y=e^(-x^2/2)的单调性,凹凸性,极值点,拐点

Answer 1

显然,函数 y=e^(-x²/2) 在R上连续、可导.

求导,得

y'=(-x)[e^(-x²/2)]……………………①

y"=-[e^(-x²/2)]+(x²)[e^(-x²/2)]

=(x²-1)[e^(-x²/2)]……………………②

由①,

令 y'≥0,则 x≤0；

令 y'≤0,则 x≥0,

可见,该函数的单调递增区间为 (-∞,0],

单调递减区间为 [0,-∞)；

由②,

令 y"≥0,则 x≤-1或x≥1,

令 y"≤0,则 -1≤x≤1,

可见,该函数在 (-∞,-1] 即 [1,+∞) 是下凹的,

在 [-1,1] 是上凸的；

由单调性讨论可知,

函数在 x=0 处有极大值 y=1,

（该值也是其最大值）,

不存在极小值点；

由函数凹凸性讨论可知,

函数的拐点有2个,

为 (±1,e^(-1/2)).

【其图像的变形是“正态分布”图像,你可以查一下,简单又直观】