正三角形ABC 内接于⊙o ,M、N分别是AB、AC的中点,延长MN交⊙ 于点D,连结BD交AC于点P,则PC/PA=?

2个回答

  • 设外接圆圆心为O,延长MN交⊙O于D.

    并设正△ABC边长为1.

    MN是△ABC的中位线,MN‖BC,MN=1/2BC=1/2.

    连结BN,则BN必过圆心O,连结OC.设外接圆半径为R.

    BN=√(BC²-CN²)=√(1-1/4)=√3/2.

    RT△ONC中:OC²=ON²+CN²

    R²=(√3/2- R) ²+1/4,R=√3/3.

    从而OB=R=√3/3.ON=BN-OB=√3/2-√3/3=√3/6.

    过O作OE⊥MN,E为垂足,

    OE=√(ON²-EN²)=√(ON²-1/4MN²)=√(1/12-1/16)= √3/12.

    从而ED=√(OD²-OE²)=√(R²-OE²)=√(1/3-3/144)=√5/4.

    ND=ED-EN=√5/4-1/4=(√5-1)/4.

    由MN‖BC知,PC/PN=BC/ND=1/((√5-1)/4)= √5+1.

    ∴PC/CN=(√5+1)/ (√5+2)=3-√5.

    ∵CN=1/2,∴PC=(3-√5)/2.

    ∴PC/PA=[(3-√5)/2]/[1-(3-√5)/2]= (3-√5)/(√5-1)= (√5-1)/2.