解题思路：（1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；
（2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知点P到直线AB的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；
（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC和∠MGA是直角，只需证明[AG/CA＝
MG
CA]或[AG/CA
＝
MG
PA]即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．
（1）令y=0，
得x2-1=0
解得x=±1，
令x=0，得y=-1
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45°．
∵AP∥CB，
∴∠PAB=∠CBO=45°．
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）．
∵点P在抛物线y=x2-1上，
∴a+1=a2-1．
解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍去）．
∴PE=3．
∴四边形ACBP的面积S=[1/2]AB•OC+[1/2]AB•PE
=[1/2]×2×1+[1/2]×2×3=4；
（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=
2
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3
2
设M点的横坐标为m，则M（m，m2-1）
①点M在y轴左侧时，则m＜-1．
（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有[AG/PA＝
MG
CA]．
∵AG=-m-1，MG=m2-1．
即
−m−1
3
2＝
m2−1
2
解得m1=-1（舍去）m2=[2/3]（舍去）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有[AG/CA＝
MG
PA]，
即
−m−1
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 考查抛物线与数轴交点求解问题，以及抛物线与三角形，四边形之间关系转换问题，相似三角形问题，要特别注意在第三问时要分情况讨论．
1年前
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