解题思路：利用f′（1）=0可得a，b的关系，并验证是否取得极值；进而由g′（x）≤0得出区间与区间（a-6，2a-3）的关系即可得出a的取值范围．
f′（x）=x3+bx2-（2+a）x+2a，
由f′（1）=0，得1+b-（2+a）+2a=0，化为b=1-a．
∴f′（x）=x3+（1-a）x2-（2+a）x+2a=（x-1）（x+2）（x-a）．
若a=1，则x=1不是函数f（x）的极值点，故b=1-a，且a≠1．
g′（x）=x3+bx2-（a-1）x-a=x3+（1-a）x2-（a-1）x-a=（x-a）（x2+x+1）．
当x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，a）上单调递减．
∴区间（a-6，2a-3）⊆（-∞，a）．
∴a-6＜2a-3≤a，解得-3＜a≤3．
综上可知：a的取值范围是（-3，1）∪（1，3]
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 熟练掌握函数在某一点取得极值的充分条件、利用导数研究函数单调性等是解题的关键．