抛物线Y平方=8X的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到Y轴的最短距离

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  • 设直线AB的方程为:x=ky+b

    和抛物线方程联立:y²=8(ky+b)

    y²-8ky-8b=0

    y1+y2=8k

    y1·y2=-8b

    则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64k²+32b

    ∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=k²(y1-y2)²

    弦AB的长为:

    √[(x1-x2)²+(y1-y2)²]

    =√[(k²+1)(y1-y2)²]

    =√[(k²+1)(64k²+32b)]

    =4√[(k²+1)(4k²+2b)]

    =16

    √[(k²+1)(4k²+2b)]=4

    (k²+1)(4k²+2b)=16

    2k²(k²+1)+b(k²+1)=8

    b(k²+1)=8-2k²(k²+1)

    b=[8-2k²(k²+1)]/(k²+1)=8/(k²+1)-2k²

    而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k²+b

    ∴点M的横坐标为:4k²+b

    即M到y轴的距离为:4k²+b

    而4k²+b

    =4k²+8/(k²+1)-2k²

    =2k²+8/(k²+1)

    =2(k²+1)+8/(k²+1)-2

    ≥2√[2(k²+1)×8/(k²+1)]-2

    =2√16-2

    =2×4-2

    =6

    当且仅当2(k²+1)=8/(k²+1),k²=1时等号成立

    ∴当k²=1时,弦AB的中点M到y轴的距离最短,是6