Question

抛物线y^2=2px的焦点弦AB中点为M,A,B,M在准线上的射影分别为C,D,N,求证：

Answer 1

（1）抛物线y^2=2px①的焦点为F（p/2,0),准线：x=-p/2,

设AB:x=my+p/2,

代入①,得y^-2mpx-p^=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-p/2,y1),D(-p/2,y2),则

y1+y2=2mp,y1y2=-p^

OA的斜率k1=y1/x1=y1/(my1+p/2),

OD的斜率k2=-2y2/p,

k1=k2,py1=-2y2(my1+p/2)=-2my1y2-py2,

p(y1+y2)+2my1y2=2mp^-2mp^=0,

上式成立,

∴A,O,D三点共线,

同理,B、O、C三点共线.

（2）(y1+y2)/2=mp,

∴N(-p/2,mp),

FN的斜率k3=-m,AB的斜率k4=1/m,

k3k4=-1,

∴FN⊥AB.