Question

（2010•武汉模拟）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的边长为2a，侧棱AA1=2a，M、N分别为

Answer 1

解题思路：（1）对于四面体求体积，可以也即三棱锥求体积，可把其中一个面作为底面，与底面相对的顶点作为三棱锥的顶点，用[1/3]的底面积乘高即可．在本题中，因为三角形B₁C₁N的面积比较好求，且M点到平面B₁C₁N的距离为2a，所以把M点作为三棱锥的顶点来求体积．

（2）欲求直线MC₁与平面MNB₁所成角正弦值，先找到该角，直线与平面所成角，即直线与它在平面上的射影所成角，过直线MC₁上点M作平面MNB₁的垂线，则垂线段即为M到平面的距离，直线MC₁与平面MNB₁所成角正弦值为垂线段与线段MC₁的比．

（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁∥BC₁

从而可得VN−A1B1C1=

1

3(

1

2•2a•2a•sin60°)•2a＝

2

3

3a3．

（2）对于△MNB₁，B₁N=B₁M=

5a，MN=2a

则△MNB₁面积S=[1/2]•2a•2a=2a²

设C₁到平面MNB₁之距为d，则由VC1−MNB1＝VN−B1C1N知：

1

3(S△MNB1)•d＝

2

3

3a，∴

1

3•2a2•d＝

2

3

3a2得到d＝

3a，

设MC₁与平面MNB₁所成角为θ，

则sinθ=

d

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题主要考查了三棱锥体积的求法，以及直线与平面所成角的求法，求体积时注意等体积法的应用，求线面角的关键在与找到线面角的平面角．