（1）证明：令y=0，则有x2-（a+b）x+
c2
4=0，
∴△=（a+b）2-c2，
由于a、b、c分别是△ABC的三边，
∴a+b＞c＞0，
∴（a+b）2＞c2，
∴△＞0，
因此抛物线总与x轴有两个交点．
（2）证明：由题意知：x=
a+b
2=a，因此a=b．
设E点的横坐标为m，F点的横坐标为n，
联立抛物线和直线y=ax-bc可得：x2-2ax+
c2
4=ax-ac，
即x2-3ax+
c2+4ac
4=0，
∴m=
3a+
9a2−c2−4ac
2，n=
3a−
9a2−c2−4ac
2
由题意可知：m=5n；
即3a+
9a2−c2−4ac=15a-5
9a2−c2−4ac
即5a2-4ac-c2=0，
解得a=-
c
5（不合题意舍去），a=c，
因此a=b=c，△ABC为等边三角形；
（3）存在过P、Q两点且与y轴相切的圆，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，设边长为m，则边上的高为
3
2m，
∴S△ABC=
3
4m2=
3，即m2=4，解得m=2，
则a=b=c=2，抛物线解析式为y=x2-4x+1，
令y=0，得到x2-4x+1=0，解得x1=2-
3，x2=2+
3，
∴P（2-
3，0），Q（2+
3，0），PQ=2
3，
∵HJ⊥PQ，∴PJ=QJ=
1
2PQ=
3，
∵P与Q关于抛物线的对称轴x=2对称，且过P和Q的圆与y轴相切于I，
∴HI=2，即圆的半径为2，则HP=2，
在Rt△PHJ中，根据勾股定理得：HJ2=PH2-PJ2，
即HJ=
22−(
3)2=1，
则圆心H坐标为（2，1）或（2，-1）．