Question

有关椭圆另一题椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1不垂直于X轴的弦AB,当弦AB变动时,弦AB的垂直平分线与X

Answer 1

记：椭圆上弦的两点分别为(acosθ,bsinθ),(acost,bsint) (θ≠±t,0≤θ,t≤360)

中点为：(a(cosθ+cost)/2,b(sinθ+sint)/2)

弦的斜率=b(sinθ-sint)/a(cosθ-cost)

弦的垂直平分线斜率k=-a(cosθ-cost)/b(sinθ-sint)

垂直平分线L方程：y-b(sinθ+sint)/2=k(x-a(cosθ+cost)/2)

k代入化简：

b(sinθ-sint)(2y-b(sinθ+sint))=-a(cosθ-cost)(2x-a(cosθ+cost))

P(m,0)代入L得：

b(sinθ-sint)(0-b(sinθ+sint))=-a(cosθ-cost)(2m-a(cosθ+cost))

b^2(sint^2-sinθ^2)=2a(cost-cosθ)m+a^2(cosθ^2-cost^2)

2a(cost-cosθ)m=b^2(sint^2-sinθ^2)+a^2(cost^2-cosθ^2)

=b^2(cosθ^2-cost^2)+a^2(cost^2-cosθ^2)

=(a^2-b^2) (cost^2-cosθ^2)

m=(a^2-b^2)(cosθ+cost)/2a

∴|m|