解题思路：（1）根据对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立知函数f（x）在定义域内的最小值为f（1），从而得到f′（1）=0即可
（2）要求函数f（x）在定义域上是单调函数，即要求f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，然后分类讨论：当f′（x）≥0时，即2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，即b≥-2x2-2x=
−2(x+
1
2
)
2
+
1
2
恒成立；当f′（x）≤0时，2x2+2x+b≤0，即b≤-（2x2+2x）恒成立，因-（2x2+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，故不符合题意
（1）由x+1＞0得x＞-1
∴f（x）的定义域为（-1，+∞），
对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，
f/(x)＝2x+
b
x+1，∴2+
b
2＝0，
解得b=-4．
（2）∵f/(x)＝2x+
b
x+1＝
2x2+2x+b
x+1，
又函数f（x）在定义域上是单调函数，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
若f′（x）≥0，
∵x+1＞0，
∴2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x2-2x=−2(x+
1
2)2+
1
2恒成立，由此得b≥[1/2]；
若f′（x）≤0，
∵x+1＞0，
∴2x2+2x+b≤0，即b≤-（2x2+2x）恒成立，
因-（2x2+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．
综上所述，实数b的取值范围是[
1
2，+∞)．
故答案为：（1）b=-4；（2）实数b的取值范围是[
1
2，+∞)．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，另外还有分类讨论的思想，属于基础题．