解题思路:(1)∵∠BAC=30°,BD平分∠ABC且交AC于D,∴∠BAC=∠ABD=30°,∴AD=BD;
(2)∵∠BAC与∠ABC互余,则这两角的一半的和为∠BAP+∠ABP=∠APD=45°,而∠APB与∠APD互补,∴∠APB=135°.
(1)证明:∵∠BAC=30°,∠C=90°,
∴∠ABC=60°.
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=30°,
∴∠BAC=∠ABD,
∴BD=AD.
(2)解法一:∵∠C=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,
∴[1/2](∠BAC+∠ABC)=45°.
∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC,
∠BAP=[1/2]∠BAC,∠ABP=[1/2]∠ABC,即∠BAP+∠ABP=45°
∴∠APB=180°-45°=135°.
解法二:∵∠C=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,
∴[1/2](∠BAC+∠ABC)=45°.
∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC,
∠DBC=[1/2]∠ABC,∠PAC=[1/2]∠BAC,
∴∠DBC+∠PAD=45°.
∴∠BPA=∠PDA+∠PAD
=∠DBC+∠C+∠PAD
=∠DBC+∠PAD+∠C
=45°+90°
=135°.
点评:
本题考点: 等腰三角形的判定与性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质;直角三角形的性质.
考点点评: 本题利用了:1、直角三角形的性质,两锐角互余,2、角的平分线的性质,3、三角形的外角与内角的关系.注意可用不同的解法答题.