以A为原点,AD,AB,AA'分别为x,y,z轴建立直角座标系,并设正方形边长为2.
则B(0,2,0),D'(2,0,2),P(0,1,2),M(1,0,0),N(2,2,1)
向量BD'=(2,-2,2),向量PM=(1,-1,-2),向量PN=(2,1,-1)
设平面PMN法向量为向量n=(x,y,1),则:
x-y-1=0
2x+y-1=0
解得x=1,y=-1,因此向量n=(1,-1,1)
∴向量BD'=2向量n
∴向量BD'∥向量n
∴向量BD'是平面PMN的法向量,BD'⊥面PMN