若a>0为常数,函数f(x)=根号x-ln(x+a).

1个回答

  • f(x)=√x-ln(x+3/4)

    保证根号有意义及真数大于0,有x≥0,x+3/4>0,联立解得x≥0

    对f(x)求导得

    f’(x)=(1/2)√x-1/(x+3/4)

    令f’(x)≥0 以求原函数的增区间,得(1/2)√x-1/(x+3/4)≥0,整理得

    (x+3/4-2√x)/[2(x+3/4)*2√x] ≥0

    x+3/4-2√x≥0

    (√x)?-2√x+3/4≥0

    (√x)?-2√x+3/4≥0

    (2√x-3)*(√x-1)≥0

    0≤x3/2

    令f’(x)≥0,以求原函数的增区间,得(1/2)√x-1/(x+3/4)≥0,整理得

    (x+3/4-2√x)/[2(x+3/4)*2√x] ≥0

    x+3/4-2√x≥0

    (√x)?-2√x+3/4≥0

    (√x)?-2√x+3/4≥0

    (2√x-3)*(√x-1)≥0

    0≤x≤1或x≤3/2

    同理令f’(x)≤0,以求原函数的减区间,得(1/2)√x-1/(x+3/4)≤0,整理得

    1≤x≤3/2

    所以

    f(x)在x=1时有极大值,极大值为f(1)=√1-ln(1+3/4)=1-ln(7/4)

    f(x)在x=3/2时有极小值,极小值为f(3/2)=√(3/2)-ln(3/2+3/4)=√(3/2)-ln(9/4)

    =√6/2-2ln(3/2)f`(x)=1/2√x-1/x+a

    根据原式可知x≥0

    又a>0

    所以可得2√x<x a也就是所得导函数大于0的情况下原函数为曾函数

    a>2√x-x时原函数为增函数,