Question

全等三角形的动点问题在△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点

Answer 1

证明：（1）∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,

∴∠BDA=∠CEA=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠CAE=90°,

∵∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠CAE=∠ABD,

∵在△ADB和△CEA中

∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝AC,

∴△ADB≌△CEA（AAS）,

∴AE=BD,AD=CE,

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）成立．

∵∠BDA=∠BAC=α,

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,

∴∠CAE=∠ABD,

∵在△ADB和△CEA中

∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝AC,

∴△ADB≌△CEA（AAS）,

∴AE=BD,AD=CE,

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）△DEF是等边三角形．

由（2）知,△ADB≌△CEA,

BD=AE,∠DBA=∠CAE,

∵△ABF和△ACF均为等边三角形,

∴∠ABF=∠CAF=60°,

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,

∴∠DBF=∠FAE,

∵BF=AF

在△DBF和△EAF中

FB＝FA∠FBD＝∠FAEBD＝AE,

∴△DBF≌△EAF（SAS）,

∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,

∴△DEF为等边三角形．