Question

有一块半径为1的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是圆O的直径,上底CD的端点在半圆周上,设∠b

Answer 1

在等腰三角形AOD中,两个底角都是x,所以∠AOD=π-2x,设DE⊥AO,则DE=sin(π-2x)=sin(2x),EO=-cos(2x).所以等腰梯形的高是sin(2x),上底CD=-2cos(2x).所以等腰梯形的面积s=1/2×(2-2cos(2x))×sin(2x)＝sin(2x)*(1-cos(2x)).

s=sin(2x)*(1-cos(2x))=4(sinx)^3cosx,求导s'=12(sinx)^2(cosx)^2-4(sinx)^4=4(sinx)^4[3(cotx)^2-1],令s'=0得cotx=1/√3,x=π/3.当x＞π/3时,s'＜0；x＜π/3时,s'＞0,所以x=π/3时,s取得最大值,最大值是(3√3)/4