设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直

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  • 解题思路:先求出抛物线的焦点坐标,然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程,进而得到两根之积,根据BC∥x轴与点c在准线上可求得c的坐标,进而可表示出直线CO的斜率,同时可得到k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.

    得证.

    证明:如图因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F([p/2],0),

    所以经过点F的直线的方程可设为x=my+

    p

    2;

    代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,

    若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,

    所以y1y2=-p2

    因为BC∥x轴,且点c在准线x=-[p/2]上,

    所以点c的坐标为(-[p/2],y2),

    故直线CO的斜率为k=

    y2

    -

    p

    2=

    2p

    y1=

    y1

    x1.

    即k也是直线OA的斜率,

    当直线AB的斜率不存在时,结论亦成立.

    所以直线AC经过原点O.

    点评:

    本题考点: 抛物线的应用;直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.