解题思路：（Ⅰ）由an+1+2an-1=3an（n≥2）⇒
a
n+1
−a
n
a
n
−a
n−1
=2（n≥2），从而可证数列{an+1-an}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1-an=2n，利用累加法可求得an=2n；
（Ⅲ）利用裂项法知
a
n
b
n
b
n+1
=
2
n
(2
n
−1)
(2
n+1
−1)
=[1
2
n
−1
-
1
2
n+1
−1
，于是可求得Sn=1
1
2
n+1
−1
，利用其单调性即可求得（Sn）min=
2/3]，依题意，解相应的不等式即可求得答案．
（I）∵an+1+2an-1=3an（n≥2），
∴
an+1−an
an−an−1=2（n≥2）…（2分）
∴{an+1-an}是公比为2的等比数列…（3分）
（II）∵{an+1-an}是公比为2等比数列，首项为2
∴an+1-an=2n．…（5分）
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）
=2+21+22+…+2n-1=2n，当n=1时，a1=2也适合上式，
∴an=2n．…（7分）
（Ⅲ）∵an=2n，∴bn=2n-1，
∴
an
bnbn+1=
2n
(2n−1)(2n+1−1)=[1
2n−1-
1
2n+1−1，…（9分）
∴Sn=
1
21−1-
1
22−1+
1
22−1-
1
23−1+…+
1
2n−1-
1
2n+1−1
=1-
1
2n+1−1…（10分）
∴n越大，Sn越大，
∴n=1时，Sn取最小值
2/3]，…（11分）
由已知有（Sn）min＞[1/6]（m2-3m），
∴[2/3]＞[1/6]（m2-3m），解得-1＜m＜4，…（12分）
故所求最大正整数m的值为3．…（13分）
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定．考查累加法与裂项法求和的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．
1年前
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