Question

已知{an}是公差不等于0的等差数列，{bn}是等比数列（n∈N+），且a1=b1＞0．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先分别表示出a₂与b₂，再分类讨论，利用平均值不等式，即可比较a₂与b₂的大小关系；

（Ⅱ）（ⅰ）由a₂=b₂，a₄=b₄，利用等差数列、等比数列的通项得q³-1=3（q-1），可得q=-2，令a_k=b₁₀，即

a

1

+(k−1)d＝

b

1

q

9

，即可判断b₁₀是否为数列{a_n}中的某一项；

（ⅱ）假设b_m=a_k，则4-3k=（-2）^m-1，从而可写出正整数m的集合．

记{a_n}的a₁=b₁=a，{a_n}公差为d，{b_n}公比为q，由d≠0，得q≠1

（Ⅰ）∵a₁=b₁＞0，a₃=b₃，

∴a2＝

a1+a3

2＝

b1+b3

2，

∵b3＝b1q2＞0，

b22＝b1b3，

∴b2＝±

b1b3，

当b2＝−

b1b3时，显然a₂＞b₂；

当b2＝

b1b3时，由平均值不等式

b1+b3

2≥

b1b3，当且仅当b₁=b₃时取等号，

而b₁≠b₃，所以

b1+b3

2＞

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，有难度．