(1)函数的定义域为(-a,+∞),
求导函数可得
令f′(x)=0,
可得x=1-a>-a
令f′(x)>0,x>-a可得x>1-a;
令f′(x)<0,x>-a可得-a<x<1-a
∴x=1-a时,函数取得极小值且为最小值
∵函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,
∴f(1-a)=1-a-0,解得a=1。
(2)当k≤0时,取x=1,有f(1)=1-ln2>0,故k≤0不合题意
当k>0时,令g(x)=f(x)-kx 2,
即g(x)=x-ln(x+1)-kx 2
求导函数可得g′(x)=
g′(x)=0,可得x 1=0,
①当k≥
时,
,
g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在(0,+∞)上单调递减,
从而对任意的x∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,
即对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx 2成立;
②当0<k<
时,
,对于
,g′(x)>0,
因此g(x)在
上单调递增,
因此取
时,g(x 0)≥g(0)=0,即有f(x 0)≤kx 0 2不成立;
综上知,k≥
时对任意的x∈[0,+∞),
有f(x)≤kx 2成立,k的最小值为
。
(3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立
当n≥2时,
在(2)中,取k=
,得f(x)≤
x 2,
∴
(i≥2,i∈N*)
∴
=f(2)+
<2-ln3+
=2-ln3+1-
<2
综上,
(n∈N*)。