已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0。

1个回答

  • (1)函数的定义域为(-a,+∞),

    求导函数可得

    令f′(x)=0,

    可得x=1-a>-a

    令f′(x)>0,x>-a可得x>1-a;

    令f′(x)<0,x>-a可得-a<x<1-a

    ∴x=1-a时,函数取得极小值且为最小值

    ∵函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,

    ∴f(1-a)=1-a-0,解得a=1。

    (2)当k≤0时,取x=1,有f(1)=1-ln2>0,故k≤0不合题意

    当k>0时,令g(x)=f(x)-kx 2

    即g(x)=x-ln(x+1)-kx 2

    求导函数可得g′(x)=

    g′(x)=0,可得x 1=0,

    ①当k≥

    时,

    g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在(0,+∞)上单调递减,

    从而对任意的x∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,

    即对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx 2成立;

    ②当0<k<

    时,

    ,对于

    ,g′(x)>0,

    因此g(x)在

    上单调递增,

    因此取

    时,g(x 0)≥g(0)=0,即有f(x 0)≤kx 0 2不成立;

    综上知,k≥

    时对任意的x∈[0,+∞),

    有f(x)≤kx 2成立,k的最小值为

    (3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立

    当n≥2时,

    在(2)中,取k=

    ,得f(x)≤

    x 2

    (i≥2,i∈N*)

    =f(2)+

    <2-ln3+

    =2-ln3+1-

    <2

    综上,

    (n∈N*)。