Question

已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m：n，设AB

Answer 1

解题思路：（1）由题意设AA'=mt，A'B=nt，通过

mt+nt＝1，∴t＝

1

m+n

．推出A'B'C'D'的面积的表达式；

（2）利用配方把（1）的面积转化为

m

2

+

n

2

(m+n)

2

−

1

2

＝

(m−n)

2

2

(m+n)

2

≥0

，从而证明A'B'C'D'的面积不小于[1/2]．

解（1）：设AA'=mt，A'B=nt

又mt+nt＝1，∴t＝

1

m+n．

在直角△D'AA'中，

D'A'²=D'A²+AA'²=m²t²+n²t²

=（m²+n²）t²

而正方形A'B'C'D'的面积=D′A′2＝(m2+n2)t2＝

m2+n2

(m+n)2．

（2）证明：∵

m2+n2

(m+n)2−

1

2＝

2(m2+n2)−(m+n)2

2(m+n)2＝

(m−n)2

2(m+n)2≥0

∴

m2+n2

(m+n)2≥

1

2．

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题是基础题，考查平面几何的知识点，正方形的面积的求法，作差法证明A'B'C'D'的面积不小于[1/2]．是本题的难点，注意把握．