Question

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．

Answer 1

解题思路：（1）由首项a₁，公差d的值，利用等差数列的求和公式分别表示出S_k²与S_k，代入S_k²=（S_k）²中化简后，得到关于k的方程，根据k为正整数，求出方程的解即可得到满足题意k的值；

（2）设无穷等差数列{a_n}的公差为d，取k=1和k=2，根据S_k²=（S_k）²列出方程组，利用等差数列的通项公式及求和公式变形后，得到关于a₁与d的方程组，分别记作①和②，由①解得a₁的值为0或1，分两种情况考虑：（i）当a₁=0时，代入②求出d的值为0或6，经检验得到d=6不合题意，舍去，故d=0满足题意；当a₁=1时，代入②求出d的值为0或2，经检验都满足题意，综上，得到所有满足题意的无穷等差数列．

（1）∵首项a₁=[3/2]，公差d=1．

∴S_n=na₁+

n(n−1)

2d=[3n/2]+

n(n−1)

2=[1/2]n²+n，

由S_k²=（S_k）²得：[1/2]（k²）²+k²=（[1/2]k²+k）²，

即[1/4]k⁴-k³=0，

∵k是正整数，∴k=4；…（5分）

（Ⅱ）设无穷等差数列{a_n}的公差为d，

则在S_k²=（S_k）²中分别取k=1，和k=2得：

S1＝(S1)2

S4＝(S2)2，即

a1＝a12①

4a1+6d＝(2a1+d)2②，

由①得：a₁=0或a₁=1，

（i）当a₁=0时，代入②得：d=0或d=6，

若a₁=0，d=0，则本题成立；

若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），

由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知：S₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意；

（ii）当a₁=1时，代入②得4+6d=（2+d）²，解得：d=0或d=2，

若a=1，d=0则a_n=1，S_n=n，从而S_k²=（S_k）²成立；

若a₁=1，d=2，则a_n

点评：

本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，以及等差数列的通项公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．