解题思路:根据函数的奇偶性与单调性的定义,逐一判定A、B、C、D中的函数是否满足条件.
对于A,f(x)=cosx是定义域上的偶函数,∴不满足条件;
对于B,∵f(x)=sinx+x,∴f(-x)=sin(-x)+(-x)=-(sinx+x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,
又f′(x)=cosx+1≥0,∴f(x)是定义域上的增函数,∴满足条件;
对于C,f(x)=x2+1是定义域上的偶函数,∴不满足条件;
对于D,∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,得x=±1,
∴f(x)在其定义域内不是单调函数,∴不满足条件.
故选:B.
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定问题,解题时应根据函数的奇偶性与单调性的定义,判定选项中的函数是否满足题意,是基础题.