Question

假设一个函数是在D上有界的,而且它在D上是单调递增或递减的,那么是不是说明这个函数一定是有极限的?

Answer 1

不一定有极限的,比如符号函数

sgn(x) = -1 (x < 0); 0 (x = 0); 1 (x > 0)

是不严格的单调增函数.它在零点有左极限和右极限,但没有极限.

变化一下,设

f(x) = -1 + x (x < 0); 0 (x = 0); 1 + x (x > 0)

它是严格的单调增函数.但在零点的极限结论与符号函数一样.

据此可以构造有可数个点的更复杂结论.

事实上,只有在约定函数是连续函数的情况下,该命题才能成立.