解题思路：（1）设线段AB的中点为M（x0，y0），则kAB＝y2−y1x2−x1＝y2−y1y226−y216＝6y2+y1＝3y0．线段AB的垂直平分线的方程是y−y0＝−y03(x−2)，由此能求出直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．（2）直线AB的方程x＝y03(y−y0)+2，代入y2=6x得y2−2y0y+2y20−12＝0，由此利用两点间距离公式和点到直线距离公式能求出△ABC面积的表达式．（3）由（2）知S△ABC=1312(9+y20)(24−2y20)(9+y20)，由此利用均值定理能求出当且仅当9+y20＝24−2y20时，△ABC面积的最大值为1437．
（1）
设线段AB的中点为M（x0，y0），
则 x0＝
x1+x2
2＝2，y0＝
y1+y2
2，kAB＝
y2−y1
x2−x1＝
y2−y1
y22
6−
y21
6＝
6
y2+y1＝
3
y0．
线段AB的垂直平分线的方程是y−y0＝−
y0
3(x−2)，①
由题意知x=5，y=0是①的一个解，
所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C坐标为（5，0）．
所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（4分）
（2）由①知直线AB的方程为y−y0＝
3
y0(x−2)，
即 x＝
y0
3(y−y0)+2，②
②代入y2=6x得y2=2y0（y-y0）+12，即y2−2y0y+2
y20−12＝0，③
依题意，y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝4
y20−4(2
y20−12)＝−4
y20+48＞0，−2
3＜y0＜2
3．
|AB|＝
(x1−x2)2+(y1−y2)2
=
(1+(
y0
3)2)(y1−y2)2
=
(1+
y20
9)[(y1+y2)2−4y1y2]
=
(1+
y20
9)(4
y20−4(2
y20−12))
=
2
3
(9+
y20)(12−
y20)．
定点C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|＝
(5−2)2+(0−y0)2＝
9+
y20．
∴S△ABC＝
1
2|AB|•h＝
1
3
(9+
y20)(12−
y20)•
9+
y20…（8分）
（3）由（2）知S△ABC=
1
3
1
2(9+
y20)(24−2
y20)(9+
y20)
≤
1
3
1
2(
9+
y20+24−2
y20+9+
y20
3)3=
14
3
7，…（11分）
当且仅当9+
y20＝24−2
y20，
即y0＝±
5，A(
6+
35
3，
5+
7)，B(
6−
35
3，
5−
7)
或A(
6+
35
3，−(
5+
7))，B(
6−
35
3，−
5+
7)时等号成立．
所以，△ABC面积的最大值为
14
3
7．…（13分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明，考查三角形面积的表达式的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．